5.1 Probabilidad como extensión de proporción

Históricamente las primeras ideas probabilísticas ocurrieron en el contexto de juegos de azar, y la consideración si una apuesta es “justa” o no. El concepto original fue formulado quizá por primera vez (Cardano) de la siguiente forma:

  • Las apuestas en un juego de azar deben ser en proporción al número de maneras en que un jugador puede ganar.

Por ejemplo, supongamos que yo apuesto a que una tirada de dado va salir un 1 o 2. Mi contrincante gana si sale 3, 4, 5, 6. Como hay el doble de resultados desfavorables para mi, el juego es justo si yo apuesto 10 pesos y mi contrincante 20.

Implícitamente, esta regla razonable introduce el concepto de probabilidad o “verosimilitud” de un evento aleatorio. Las bases para la formalización de esta idea son las siguientes:

  • Los resultados del experimento (o el juego de azar) son simétricos: nada los distingue excepto la etiqueta (por ejemplo el 1 y el 2 en el dado). En este caso decimos que estos resultados son “equiprobables”.

  • La “probabilidad” de un conjunto de resultados es proporcional al tamaño del conjunto de resultados (1 y 2 son dos posibles resultados de 6).

Ejemplos

  1. En el ejemplo del dado, no podríamos definir los resultados como “Tiro 1 o 2” o “No tiro 1 o 2”, porque no hay simetría entre los dos resultados: el dado tiene cuatro caras que corresponden al resultado “No tiro 1 o 2” y solo dos para “Tiro 1 o 2”
  2. Si tenemos 100 pelotas idénticas en una bolsa, las revolvemos bien, y sacamos sin ver una pelota, en el experimento aleatorio no hay nada que distinga una pelota de otra, así que tiene sentido el modelo equiprobable: todas las pelotas tienen la misma probabilidad de salir. Sin embargo, si hay unas pelotas más pesadas que otra, no revolvemos bien, etc. el experimento pierde la simetría y el modelo equiprobable puede nos ser apropiado.

En esta familia de modelos, la probabilidad se ve como una extensión de la idea de proporción, o cociente de una parte con respecto a un todo. Este es uno de los modelos de probabilidad más fundamentales. Podemos definir algunos conceptos para tener una teoría matemática para este tipo de modelos.

Espacio de resultados y eventos

El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio. A los puntos \(\omega \in \Omega\) se les conoce como resultados muestrales, o realizaciones del experimento aleatorio.

Ejemplo: Si lanzamos una moneda dos veces entonces el espacio de resultados es:

\[\Omega = \{AA, AS, SA, SS \}\]

Un evento es un subconjunto del espacio muestral. Los eventos usualmente se denotan por letras mayúsculas.

El evento: que la primer lanzamiento resulte águila es el evento

\[A=\{AA, AS\}\]

Espacios de probabilidad equiprobables

Espacios equiprobables. Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el número de resultados en A dividido entre el número total de posibles resultados:

\[P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)},\]

de modo que calcular probabilidades se reduce a un ejercicio de conteo.

Por ejemplo, la probabilidad de obtener \(AA\) si lanzamos una moneda dos veces es \(1/4 = 0.25\), y la probabilidad del evento que la primer lanzamiento resulte águila es \(2/4 = 0.5\).

Lanzamos un dado y anotamos el número de la cara superior, después lanzamos otro dado y anotamos el número de la cara superior.

  • ¿Cuál es el espacio de resultados?

  • ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números sea 5?

  • ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo número sea mayor que el primero?

  • Repite las preguntas anteriores cuando lanzas 2 dados con \(n\) caras (\(n \ge 4\)).

Observaciones:

  1. Como explicamos arriba, este tipo de modelos es apropiado cuando podemos escribir el experimento aleatorio de forma que los resultados son equiprobables (existe simetría de los resultados).
  2. También podemos pensar en que el fundamento de estos modelos es el principio de razón insuficiente: si no hay nada que distinga los resultados del experimento, ningún modelo o cálculo que hagamos debe distingir entre los resultados.

Ejemplo

Supongamos que sacamos tres cartas de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de una cuarta carta que saquemos es un as? Utiiza el principio de razón insuficiente.

Para problemas más complejos, podemos utilizar técnicas de conteo más avanzadas.

Ejemplo: combinaciones

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado. Por otra parte, hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es: \[\frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \]

y la función para calcular combinaciones en R es choose(n, r)

Los solución a problemas derivados de juegos de azar se complica rápidamente y suele ser necesario conocer técnicas de conteo para resolverlos.