7. Simulación de variables aleatorias

Simulación de una Gamma

Usa el método de aceptación y rechazo para generar 1000 observaciones de una variable aleatoria con distribución gamma(3/2,1).

Simulación de una Normal

Implementa el algoritmo de simulación de una variable aleatoria normal estándar visto en clase (simula 1000 observaciones de una normal estándar):

Nuestro objetivo es primero, simular una variable aleatoria normal estándar Z, para ello comencemos notando que el valor absoluto de Z tiene función de densidad: \[f(x)=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\] con soporte en los reales positivos. Generaremos observaciones de la densidad anterior usando el método de aceptación y rechazo con \(g\) una densidad exponencial con media 1:

\[g(x)= e^{-x}\]

Ahora, \(\frac{f(x)}{g(x)}=\sqrt{2/\pi}e^{x - x^2/2}\) y por tanto el máximo valor de \(f(x)/g(x)\) ocurre en el valor \(x\) que maximiza \(x - x^2/2\), esto ocurre en \(x=1\), y podemos tomar \(c=\sqrt{2e/\pi}\), \[\frac{f(x)}{cg(x)}=exp\bigg\{x - \frac{x^2}{2}-{1}{2}\bigg\}\] \[=exp\bigg\{\frac{(x-1)^2}{2}\bigg\}\]

y por tanto podemos generar el valor absoluto de una variable aleatoria con distribución normal estándar de la siguiente manera:

1. Genera \(Y\) una variable aleatoria exponencial con tasa 1.
   
2. Genera un número aleatorio \(U\).
   
3. Si \(U \leq exp\{-(Y-1)^2/2\}\) define \(X=Y\), en otro caso vuelve a 1.

Para generar una variable aleatoria con distribución normal estándar \(Z\) simplemente elegimos \(X\) o \(-X\) con igual probabilidad.