10.1 Probabilidad subjetiva

¿Qué tanta certeza tienes de que una moneda acuñada por la casa de moneda mexicana es justa? Si, en cambio, consideramos una moneda antigua y asimétrica, ¿creemos que es justa? En estos escenarios no estamos considerando la verdadera probabilidad, inherente a la moneda, lo que queremos medir es el grado en que creemos que cada probabilidad puede ocurrir.

Para especificar nuestras creencias debemos medir que tan verosímil pensamos que es cada posible resultado. Describir con presición nuestras creencias puede ser una tarea difícil, por lo que exploraremos como calibrar las creencias subjetivas.

Calibración

Considera una pregunta sencilla que puede afectar a un viajero: ¿Qué tanto crees que habrá una tormenta que ocasionará el cierre de la autopista México-Acapulco en el puente del $20$ de noviembre? Como respuesta debes dar un número entre $0$ y $1$ que refleje tus creencias. Una manera de seleccionar dicho número es calibrar las creencias en relación a otros eventos cuyas probabilidades son claras.

Como evento de comparación considera una experimento donde hay canicas en una urna: $5$ rojas y $5$ blancas. Seleccionamos una canica al azar. Usaremos esta urna como comparación para considerar la tormenta en la autopista. Ahora, considera el siguiente par de apuestas de las cuales puedes elegir una:

A. Obtienes $\$1000$ si hay una tormenta que ocasiona el cierre de la autopista el próximo $20$ de noviembre.
B. Obtienes $\$1000$ si seleccionas una canica roja de la urna que contiene $5$ canicas rojas y $5$ blancas.

Si prefieres la apuesta B, quiere decir que consideras que la probabilidad de tormenta es menor a $0.5$, por lo que al menos sabes que tu creencia subjetiva de una la probabilidad de tormenta es menor a $0.5$. Podemos continuar con el proceso para tener una mejor estimación de la creencia subjetiva.

A. Obtienes $\$1000$ si hay una tormenta que ocasiona el cierre de la autopista el próximo $20$ de noviembre.
C. Obtienes $\$1000$ si seleccionas una canica roja de la urna que contiene $1$ canica roja y $9$ blancas.

Si ahora seleccionas la apuesta $A$, esto querría decir que consideras que la probabilidad de que ocurra una tormenta es mayor a $0.10$. Si consideramos ambas comparaciones tenemos que tu probabilidad subjetiva se ubica entre $0.1$ y $0.5$.

¿Cuántos analfabetas dirías que había en México en $2015$? Da un intervalo del $90\%$ de confianza para esta cantidad.

Más de calibración:

Prueba de calibración de Messy Matters.
Más pruebas en An Educated Guess.

Descripción matemática de creencias subjetivas

Cuando hay muchos posibles resultados de un evento es practicamente imposible calibrar las creencias subjetivas para cada resultado, en su lugar, podemos usar una función matemática.

Por ejemplo, puedes pensar que una mujer mexicana promedio mide 156 cm pero estar abierto a la posibilidad de que el promedio sea un poco mayor o menor. Es así que puedes describir tus creencias a través de una curva con forma de campana y centrada en 156. No olvidemos que estamos describiendo probabilidades, subjetivas o no deben cumplir los axiomas de probabilidad. Es por esto que la curva debe conformar una distribuión de probabilidad.

Ahora, si $p(\theta)$ representa el grado de nuestra creencia en los valores de $\theta$, entonces la media de $p(\theta)$ se puede pensar como un valor de $\theta$ que representa nuestra creencia típica o central. Por su parte, la varianza de $\theta$, que mide que tan dispersa esta la distribución, se puede pensar como la incertidumbre entre los posibles valores.