5.3 Simulación para el cálculo de probabilidades
En el ejemplo anterior vimos que puede ser sencillo usar simulación para calcular probabilidades, pues usando la interpretación de frecuencia relativa simplemente hace falta simular el experimento y contar los casos favorables entre el total de casos.
Simulación para el cálculo de probabilidades
Definir el modelo probabilístico:
Definir el espacio de resultados.
Describir el mecanismo que genera los resultados, esto incluye entender los pasos que involucran azar y los que no.
Simular:
Replicar el experimento con código, siguiendo el conocimiento elicitado en 1 y 2.
- Repetir el paso 3 \(n\) veces y calcular la frecuencia relativa de éxitos, estimando así la probabilidad.
Para el paso 2 (resultados equiprobables), en R suelen ser de utilidad las funciones runif y sample(), revisa la ayuda de estas funciones.
Ejemplo: comité
Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?
El espacio de resultados es \(\Omega = \{M_1M_2M_3M_4M_5, M_2M_3M_4M_5M_6,... H_1,H_2H_3H_4H_5,H_2H_3H_4H_5H_6\}\).
Se seleccionan 5 integrantes al azar del conjunto de hombres y mujeres, es claro que cada persona solo puee estar una vez.
Ejemplo: La ruina del jugador
Un jugador tiene $100, y va a apostar en un juego donde la probabilidad de ganar es p = 0.47 (e.g. una ruleta 18/38), si gana recibe el doble de lo que arriesgó, si no gana pierde todo lo que apostó.
Cada vez que juega puede apostar cualquier cantidad siempre y cuando aún cuente con dinero.
El jugador dejará de jugar cuando su capital sea $0 o cuando gane $200.
El jugador busca una estrategia que le ayude a aumentar su probabilidad de ganar y te pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de ganar si apuesto en incrementos de $5 cada vez que apuesto?
Siguiendo los pasos enunciados:
- Cada elemento del espacio de resultados es una sucesión \(\omega_1, \omega_2, \omega_3, \ldots\) donde cada \(\omega_i\) es \(G\) o \(P\) (gana o pierde).
- El jugador juega mientras tenga capital y este sea menor a $200, el monto de la apuesta está fijo en $5, no importa el capital en cada momento. La componente aleatoria involucra si gana cada uno de los juegos y esto ocurre con probabilidad 0.47.
apostar <- function(dinero = 100, apuesta = 5, tope = 200) {
while (0 < dinero & dinero < tope) {
if (sample(1:38, 1) <= 18) {
dinero <- dinero + apuesta
}
else {
dinero <- dinero - apuesta
}
}
dinero > 0
}
set.seed(9923)
n_juegos <- 5000
juegos <- rerun(n_juegos, apostar()) %>% flatten_dbl()
mean(juegos)
#> [1] 0.1126
# incrementos de 50?
juegos <- rerun(n_juegos, apostar(apuesta = 50)) %>% flatten_dbl()
mean(juegos)
#> [1] 0.454La solución analítica la pueden leer en este documento de caminatas aleatorias:
p <- 0.474
1 - (1 - (p / (1 - p)) ^ (100 / 5)) / (1 - (p / (1 - p)) ^ (200 / 5)) # apostando de 5 en 5
#> [1] 0.1108707
1 - (1 - (p / (1 - p)) ^ (100 / 50)) / (1 - (p / (1 - p)) ^ (200 / 50)) # apostando de 50 en 50
#> [1] 0.4481402
Cumpleaños. ¿Cuántas personas debe haber en un
salón para que la probabilidad de encontrar 2 con el mismo cumpleaños sea
mayor a 0.5?
Supuestos:
Mismo cumpleaños implica mismo día y mes.
No hay años bisiestos.
La probabilidad de que alguien nazca un día dado es la misma para todos los días del año.
Chabelo (Monty Hall) Supongamos que estamos
jugando las catafixias de Chabelo, en este juego hay 3 catafixias: 2 de ellas
están vacías y una tiene un premio:
- El juego comienza cuando escoges una catafixia.
- A continuación Chabelo abre una catafixia vacía de las dos catafixias restantes.
Tu eliges si te mantienes con tu catafixia o cambias a la otra que continúa cerrada. Chabelo abre tu segunda elección de catafixia y se revela si ganaste.
¿Cuál es la probabilidad de que ganes si cambias de catafixia?
Urna: 10 personas (con nombres distintos)
escriben sus nombres y los ponen en una urna, después seleccionan un nombre (al
azar).
Sea A el evento en el que ninguna persona selecciona su nombre, ¿Cuál es la probabilidad del evento A?
Supongamos que hay 3 personas con el mismo nombre, ¿Cómo calcularías la probabilidad del evento A en este nuevo experimento?
- El señor J. tiene 2 cachorros, el mayor es hembra. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean hembra?
La señora K. tiene 2 cachorros, al menos uno es macho. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean macho?
Espacios equiprobables continuos
Podemos generalizar las definiciones de equiprobable al caso continuo, como ejemplo supongamos que se lanza un dardo a un tablero cuadrandgular de lado 2, ¿cuál es la probabilidad de que el dardo caiga en el círculo de radio 1 inscrito en un cuadrado de lado 2?
tablero <- ggplot() +
ggforce::geom_circle(aes(x0 = 0, y0 = 0, r = 1)) +
geom_rect(aes(xmin = -1, xmax = 1, ymin = -1, ymax = 1), fill = "white",
color = "black", alpha = 0.5) +
coord_equal()
ggsave("img/tablero.png", tablero, width = 3, height = 3)
En este caso usamos áreas relativas para calcular la probabilidad: denotemos C al evento tal que el dardo cae en el círculo, entonces:
\[P(B) = \frac{Área(B)}{Área(\Omega)}\] ¿Y simulando?
dentro_circunferencia <- function(){
x <- runif(1) * sample(c(-1, 1), 1)
y <- runif(1) * sample(c(-1, 1), 1)
sqrt(x ^ 2 + y ^ 2) < 1
}
rerun(10000, dentro_circunferencia()) %>% flatten_dbl() %>% mean()
#> [1] 0.787dardos <- tibble(x = runif(1000, -1, 1), y = runif(1000, -1, 1),
en_circulo = sqrt(x ^ 2 + y ^ 2) < 1)
tablero_dardos <- tablero +
geom_point(data = dardos, aes(x, y, color = en_circulo), alpha = 0.5,
show.legend = FALSE)
ggsave("img/tablero_dardos.png", tablero_dardos, width = 3, height = 3)
¿Qué defectos puedes ver en este modelo probabilístico para el lanzamiento de un dardo?