9-Inferencia gráfica, tamaño de muestra, bootstrap paramétrico.

Inferencia gráfica

Los datos marg_diabetes incluyen información de marginación y diabetes en México:

  • ent, id_ent, mun, id_mun, cvegeo: corresponden al estado, municipio y sus códigos de identificación.

  • n_causa es el número de muertes de adultos mayores a \(65\) años a causa de diabetes en \(2015\), y tasa_mun la tasa correspondiente por cada \(10,000\) habitantes.

  • tasa_alf (porcentaje de población alfabeta), ind_des_hum (índice de desarrollo humano), conapo (índice de marginación).

Utiliza los datos para explorar gráficamente la relación entre algunas de las variables, utiliza el protocolo lineup para hacer inferencia gráfica.

Simulación para calcular tamaños de muestra

Supongamos que queremos hacer una encuesta para estimar la proporción de hogares donde se consume refresco de manera regular, para ello se diseña un muestreo por conglomerados donde los conglomerados están dados por conjuntos de hoagres de tal manera que todos los conglomerados tienen el mismo número de hogares. La selección de la muestra se hará en dos etapas:

  1. Seleccionamos \(J\) conglomerados de manera aleatoria.

  2. En cada conglomerado seleccionames \(n/J\) hogares para entrevistar.

El estimador será simplemente el porcentaje de hogares del total de la muestra. Suponemos que la verdadera proporción es cercana a \(0.50\) y que la media de la proporción de interés a lo largo de los conglomerados tiene una desviación estándar de \(0.1\).

  1. Supongamos que la muestra total es de \(n=1000\). ¿Cuál es la estimación del error estándar para la proporción estimada si \(J=1,10,100,1000\)?

  2. El obejtivo es estimar la propoción que consume refresco en la población con un error estándar de a lo más \(2\%\). ¿Que valores de \(J\) y \(n\) debemos elegir para cumplir el objetivo al menor costo?

Los costos del levantamiento son: + \(50\) pesos por encuesta. + \(500\) pesos por conglomerado

Bootstrap paramétrico

  1. Sean \(X_1,...,X_n \sim N(\mu, 1)\). Sea \(\theta = e^{\mu}\), crea una base de datos usando \(\mu=5\) que consista de \(n=100\) observaciones.

  • Usa el método delta para estimar \(\hat{se}\) y crea un intervalo del \(95\%\) de confianza. Usa boostrap paramétrico para crear un intervalo del \(95\%\). Usa bootstrap no paramétrico para crear un intervalo del \(95\%\). Compara tus respuestas.

  • Realiza un histograma de replicaciones bootstrap para cada método, estas son estimaciones de la distribución de \(\hat{\theta}\). El método delta también nos da una aproximación a esta distribución: \(Normal(\hat{\theta},\hat{se}^2)\). Comparalos con la verdadera distribución de \(\hat{\theta}\) (que puedes obtener vía simulación). ¿Cuál es la aproximación más cercana a la verdadera distribución?

Pista: \(se(\hat{\mu}) = 1/\sqrt{n}\)

Solución

Simulación para calcular tamaños de muestra

muestreo <- function(J, n_total = 1000) {
  n_cong <- floor(n_total / J)
  medias <- rnorm(J, 0.5, 0.1)
  medias <- ifelse(medias < 0, 0, 
      ifelse(medias > 1, 1, medias))
  resp <- rbinom(J, n_cong, medias)
  sum(resp) / n_total
}

errores <- data_frame(J = c(1, 10, 100, 1000)) %>% 
    mutate(
        sims = map(J, ~(rerun(1000, muestreo(.)) %>% flatten_dbl())), 
        error_est = map_dbl(sims, sd) %>% round(3)
            )
errores
#> # A tibble: 4 x 3
#>       J sims          error_est
#>   <dbl> <list>            <dbl>
#> 1     1 <dbl [1,000]>     0.102
#> 2    10 <dbl [1,000]>     0.036
#> 3   100 <dbl [1,000]>     0.018
#> 4  1000 <dbl [1,000]>     0.015

tamano_muestra <- function(J) {
  n_total <- max(100, J)
  ee <- rerun(1000, muestreo(J = J, n_total = n_total)) %>% 
      flatten_dbl() %>% sd()
  while(ee > 0.02){
      n_total = n_total + 20
      ee <- rerun(500, muestreo(J = J, n_total = n_total)) %>% 
          flatten_dbl() %>% sd() %>% round(3)
  }
  list(ee = ee, n_total = n_total, costo = 500 * J + 50 * n_total)
}
tamanos <- c(20, 30, 40, 50, 100, 150)
costos <- map_df(tamanos, tamano_muestra)
costos$J <- tamanos
costos
#> # A tibble: 6 x 4
#>      ee n_total   costo     J
#>   <dbl>   <dbl>   <dbl> <dbl>
#> 1 0.02    28700 1445000    20
#> 2 0.02     2200  125000    30
#> 3 0.019    1060   73000    40
#> 4 0.02      980   74000    50
#> 5 0.019     660   83000   100
#> 6 0.019     430   96500   150
ggplot(costos, aes(x = J, y = costo / 1000)) +
    geom_line() + scale_y_log10() + theme_minimal() +
    labs(y = "miles de pesos", title = "Costos")