5.4 Probabilidad: definición matemática
Desde un punto de vista puramente matemático, la probabilidad se define como una función de eventos. Los eventos se representan como conjuntos, y suponemos que la función de probabilidad satisface las reglas básicas de proporción. Antes de definir estas reglas consideremos la representación de los eventos como subconjuntos de un espacio de resultados.
Supongamos que tenemos un espacio de resultados \(\Omega\), y que todos los eventos de interés están representados como subconjuntos de \(\Omega\). Podemos pensar en \(\Omega\) como una representación de todas las situaciones que pueden ocurrir, no suponemos que es finito, ni que los eventos son igualmente probables.
Las reglas de la probabilidad involucran relaciones lógicas entre eventos; estas se traducen a relaciones de conjuntos. Por ejemplo, si C es el evento que ocurre si sucede A o si sucede B, entonces el conjunto de maneras en las que ocurre C es la unión del conjunto de maneras en que ocurre A y el conjunto de maneras en que ocurre B. Veamos como se traduce de eventos a conjuntos
| Lenguaje de eventos | Lenguaje de conjuntos | Notación de conjuntos |
|---|---|---|
| Espacio de resultados | conjunto universal | \(\Omega\) |
| evento | subconjunto de \(\Omega\) | \(A,B,C,...\) |
| evento imposible | conjunto vacío | \(\emptyset\) |
| no A, opuesto de A | complemento de A | \(A^c\) |
| A o B | unión de A y B | \(A\cup B\) |
| tanto A como B | intersección de A y B | \(AB,A\cap B\) |
| A y B mutuamente excluyentes | A y B disjuntos | \(AB=\emptyset\) |
| si A entonces B | A es subconjunto de B | \(A\subset B\) |
Particiones y axiomas de probabilidad
Decimos que un conjunto de \(n\) eventos \(B_1,...,B_n\) es una partición del evento \(B\) si \(B=B_1 \cup B_2 \cup \cdot\cdot\cdot \cup B_n\) y los eventos \(B_1,...,B_n\) son mutuamente excluyentes.
Ahora podemos definir probabilidad:
Una función \(P\) es una función de probabilidad si satisface las siguientes condiciones:
- Un valor de probabilidad debe ser no-negativo:
\[P(B) \geq 0\] para cualquier evento \(B\)
- La suma de las probabilidades a través de todos los posibles eventos en el espacio de resultados debe ser 1 (i.e. uno de los eventos en el espacio de resultados debe ocurrir). \[P(\Omega) = 1\]
- Si \(B_1,...,B_n\) es una partición del evento \(B\) entonces, la probabilidad de que ocurra B es la suma de las probabilidades individuales: \[P(B)=P(B_1)+P(B_2) + \cdot\cdot\cdot +P(B_n)\]
5.4.1 Propiedades de la función de probabilidad:
- \(P(A^c) = 1 - P(A)\)
- \(P(\emptyset)=0\)
- Si \(A \subset B\) entonces \(P(A) \le P(B)\)
- \(0\le P(A) \le 1\)
- La regla general de la suma: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)