5.1 Probabilidad como extensión a proporción

Espacio de resultados y eventos

El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio. A los puntos \(\omega \in \Omega\) se les conoce como resultados muestrales, realizaciones o elementos.

Ejemplo: Si lanzamos una moneda dos veces entonces el espacio de resultados es:

\[\Omega = \{AA, AS, SA, SS \}\]

Un evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por letras mayúsculas.

El evento: que la primer lanzamiento resulte águila es

\[A=\{AA, AS\}\]

Eventos equiprobables

Históricamente la primera aproximación a la probabilidad ocurrió con apuestas y juegos de azar, y se veía como una extensión de la idea de proporción, o cociente de una parte con respecto a un todo.

Por ejemplo, si en la carrera de matemáticas del ITAM hay 300 estudiantes hombres y 700 mujeres, la proporción de hombres es:

\[\frac{300}{700+300}=0.3\] Ahora, supongamos que elegimos un estudiante al azar, la probabilidad de elegir una mujer es \(0.7\).

En el ejemplo hay un supuesto implícito en elegir al azar (o aleatoriamente), en este caso estamos suponiendo que todos los estudiantes tienen la misma probabilidad de ser elegidos, que nos lleva al siguiente concepto:

Eventos equiprobables. Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el número de resultados en A dividido entre el número total de posibles resultados:

\[P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)}\]

Por lo que solo hace falta contar.

Por ejemplo, la probabilidad de obtener \(AA\) si lanzamos una moneda dos veces es \(1/4 = 0.25\), y la probabilidad del evento que la primer lanzamiento resulte águila es \(2/4 = 0.5\).

Lanzamos un dado y anotamos el número de la cara superior, después lanzamos otro dado y anotamos el número de la cara superior.

  • ¿Cuál es el espacio de resultados?

  • ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números sea 5?

  • ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo número sea mayor que el primero?

  • Repite las preguntas anteriores cuando lanzas 2 dados con \(n\) caras (\(n \ge 4\)).

Ejemplo: combinaciones

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado. Por otra parte, hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es: \[\frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \]

y la función para calcular combinaciones en R es choose(n, r)

choose(6, 3) * choose(9, 2) / choose(15, 5)
#> [1] 0.24

Los solución a problemas derivados de juegos de azar se complica rápidamente y suele ser necesario conocer técnicas de conteo para resolverlos. Ahora, a pesar de que históricamente el desarrollo de estás técnicas surge de los juegos de azar, la realidad es que los jugadores en realidad estaban pensando en frecuencias relativas: ¿Si apuesto en un juego de dados de manera repetida, terminaré con ganancias o pérdidas? ¿Qué estrategia debo seguir para mejorar mis posibilidades de ganar? Es así que la interpretación frecuentista de la probabilidad estaba considerada desde un inicio.